Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD1. Известно, что АВ = 3, ВС = 4 и АА, 1 = 12. Найдите косинус угла между прямыми B₁D и АВ.

Решение:

1. Введем систему координат, в которой точка A является началом координат, ось x направлена вдоль AB, ось y вдоль BC, и ось z вдоль AA₁. Тогда координаты точек будут следующими:
   • A(0, 0, 0)
   • B(3, 0, 0)
   • D(0, 4, 0)
   • B₁(3, 0, 12)
2. Найдем координаты вектора B₁D:

   B₁D = D - B₁ = (0 - 3, 4 - 0, 0 - 12) = (-3, 4, -12)

3. Найдем координаты вектора AB:

   AB = B - A = (3 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (3, 0, 0)

4. Косинус угла между векторами B₁D и AB равен: \[\cos(α) = \frac{B₁D ⋅ AB}{|B₁D| ⋅ |AB|}\]
5. Найдем скалярное произведение векторов B₁D и AB:

   B₁D ⋅ AB = (-3)(3) + (4)(0) + (-12)(0) = -9

6. Найдем длины векторов B₁D и AB:
   • |B₁D| = \(\sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
   • |AB| = \(\sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3\)
7. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: \[\cos(α) = \frac{-9}{13 ⋅ 3} = \frac{-9}{39} = -\frac{3}{13}\]

Ответ: -\(\frac{3}{13}\)