Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD, в котором грань АВСD является квадратом. Известно, что АВ=8, AA₁=√105. Найдите косинус угла между прямыми AD и АС.

Решение:

• Обозначим сторону квадрата как a. Тогда AD = a.
• Диагональ квадрата AC можно найти по формуле: \( AC = a\sqrt{2} \).
• Угол между AD и AC равен углу DAC.
• Косинус угла DAC в прямоугольном треугольнике ADC равен отношению прилежащего катета (AD) к гипотенузе (AC):
• \( cos(\angle DAC) = \frac{AD}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)