16 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA,B,C,D, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной АВ = 2√5. Известно, что ВВ₁ = 8 и что точка К - середина ребра АА. Найдите косинус угла между прямыми В,С и KD.

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
• \(ABCD\) – квадрат
• \(AB = 2\sqrt{5}\)
• \(BB_1 = 8\)
• \(K\) – середина ребра \(AA_1\)

Найти:

Косинус угла между \(B_1C\) и \(KD\)

Пошаговое решение:

1. Введем систему координат с началом в точке \(A\), ось \(x\) направим вдоль \(AB\), ось \(y\) – вдоль \(AD\), ось \(z\) – вдоль \(AA_1\).
2. Найдем координаты точек:
   • \(B_1(2\sqrt{5}; 0; 8)\)
   • \(C(2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}; 0)\)
   • \(K(0; 0; 4)\)
   • \(D(0; 2\sqrt{5}; 0)\)
3. Найдем координаты векторов:
   • \(\overrightarrow{B_1C} = (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}; 2\sqrt{5} - 0; 0 - 8) = (0; 2\sqrt{5}; -8)\)
   • \(\overrightarrow{KD} = (0 - 0; 2\sqrt{5} - 0; 0 - 4) = (0; 2\sqrt{5}; -4)\)
4. Вычислим косинус угла между векторами \(\overrightarrow{B_1C}\) и \(\overrightarrow{KD}\):
   \[\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{B_1C} \cdot \overrightarrow{KD}}{|\overrightarrow{B_1C}| \cdot |\overrightarrow{KD}|}\]
   Где \(\overrightarrow{B_1C} \cdot \overrightarrow{KD} = 0 \cdot 0 + 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} + (-8) \cdot (-4) = 0 + 20 + 32 = 52\)
   \[|\overrightarrow{B_1C}| = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{5})^2 + (-8)^2} = \sqrt{0 + 20 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\]\[|\overrightarrow{KD}| = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{5})^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 20 + 16} = \sqrt{36} = 6\]
   \[\cos \alpha = \frac{52}{2\sqrt{21} \cdot 6} = \frac{52}{12\sqrt{21}} = \frac{13}{3\sqrt{21}} = \frac{13\sqrt{21}}{3\cdot 21} = \frac{13\sqrt{21}}{63}\]

Ответ: \(\frac{13\sqrt{21}}{63}\)