Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = √2 и BC = √10. Известно, что CC₁ = 2√3 и что точка M является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми BM и C₁A.

1. Введем систему координат: A = (0, 0, 0), B = (√2, 0, 0), C = (√2, √10, 0), D = (0, √10, 0), A₁ = (0, 0, 2√3), B₁ = (√2, 0, 2√3), C₁ = (√2, √10, 2√3), D₁ = (0, √10, 2√3). Точка M - середина AA₁, следовательно, M = (0, 0, √3).
2. Найдем векторы BM и C₁A: $$\vec{BM} = M - B = (0 - \sqrt{2}, 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (-\sqrt{2}, 0, \sqrt{3})$$. $$\vec{C_1A} = A - C_1 = (0 - \sqrt{2}, 0 - \sqrt{10}, 0 - 2\sqrt{3}) = (-\sqrt{2}, -\sqrt{10}, -2\sqrt{3})$$.
3. Вычислим косинус угла между векторами BM и C₁A по формуле: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{C_1A}}{|\vec{BM}| |\vec{C_1A}|}$$.
$$\vec{BM} \cdot \vec{C_1A} = (-\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (0)(-\sqrt{10}) + (\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) = 2 + 0 - 6 = -4$$.
$$|\vec{BM}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$$.
$$|\vec{C_1A}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{10})^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 10 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$.
$$\cos(\alpha) = \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-4}{2\sqrt{30}} = \frac{-2}{\sqrt{30}} = \frac{-2\sqrt{30}}{30} = \frac{-\sqrt{30}}{15}$$.