Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами АВ = √7 и ВС = √5. Известно, что СС₁ = 2√2 и что точка М является серединой ребра А.А. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и СА.

Привет! Давай разбираться с этой задачей вместе. Она может показаться сложной, но сейчас мы все разложим по полочкам!

Решение:

1. Введем систему координат:
   Поместим начало координат в точку A. Ось x направим вдоль AB, ось y – вдоль AD, а ось z – вдоль AA₁. Тогда координаты точек будут следующими:
   A(0, 0, 0), B(√7, 0, 0), C(√7, √5, 0), A₁(0, 0, 2√2), C₁(√7, √5, 2√2), M(0, 0, √2).
2. Найдем векторы B₁M и C₁A:
   Координаты вектора B₁M: (0 - √7, 0 - 0, √2 - 2√2) = (-√7, 0, -√2)
   Координаты вектора C₁A: (0 - √7, 0 - √5, 0 - 2√2) = (-√7, -√5, -2√2)
3. Вычислим косинус угла между векторами:
   Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин:
   \[ \cos \varphi = \frac{\vec{B_1M} \cdot \vec{C_1A}}{|\vec{B_1M}| \cdot |\vec{C_1A}|} \]
4. Найдем скалярное произведение векторов B₁M и C₁A:
   \[ \vec{B_1M} \cdot \vec{C_1A} = (-√7) \cdot (-√7) + 0 \cdot (-√5) + (-√2) \cdot (-2√2) = 7 + 0 + 4 = 11 \]
5. Найдем длины векторов B₁M и C₁A:
   \[ |\vec{B_1M}| = \sqrt{(-√7)^2 + 0^2 + (-√2)^2} = \sqrt{7 + 0 + 2} = \sqrt{9} = 3 \]
   \[ |\vec{C_1A}| = \sqrt{(-√7)^2 + (-√5)^2 + (-2√2)^2} = \sqrt{7 + 5 + 8} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
6. Подставим значения в формулу косинуса угла:
   \[ \cos \varphi = \frac{11}{3 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{11}{6\sqrt{5}} \]
7. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
   \[ \cos \varphi = \frac{11}{6\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{6 \cdot 5} = \frac{11\sqrt{5}}{30} \]

Ответ: \(\frac{11\sqrt{5}}{30}\)