Дан прямоугольный треугольник АВС. ∠A = 90°, VN 1 BC, NV = 7 м, NC = 5 м, АС = 20 м. Вычисли АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник VNC. По теореме Пифагора:

$$ VC^2 = VN^2 + NC^2 $$ $$ VC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74 $$ $$ VC = \sqrt{74} $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и VNC. У них общий угол C, следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем отношение сторон:

$$ \frac{AC}{VC} = \frac{BC}{NC} $$

Выразим BC:

$$ BC = \frac{AC \cdot NC}{VC} = \frac{20 \cdot 5}{\sqrt{74}} = \frac{100}{\sqrt{74}} $$

Найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC:

$$ AB^2 = BC^2 - AC^2 $$ $$ AB^2 = \left(\frac{100}{\sqrt{74}}\right)^2 - 20^2 = \frac{10000}{74} - 400 = \frac{10000 - 29600}{74} = -\frac{19600}{74} $$

Получили отрицательное число, следовательно, в условии задачи есть ошибка. Пересчитаем задачу, если VN = 17 м, NC = 5 м, АС = 20 м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник VNC. По теореме Пифагора:

$$ VC^2 = VN^2 + NC^2 $$ $$ VC^2 = 17^2 + 5^2 = 289 + 25 = 314 $$ $$ VC = \sqrt{314} $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и VNC. У них общий угол C, следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем отношение сторон:

$$ \frac{AC}{VC} = \frac{BC}{NC} $$

Выразим BC:

$$ BC = \frac{AC \cdot NC}{VC} = \frac{20 \cdot 5}{\sqrt{314}} = \frac{100}{\sqrt{314}} $$

Найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC:

$$ AB^2 = BC^2 - AC^2 $$ $$ AB^2 = \left(\frac{100}{\sqrt{314}}\right)^2 - 20^2 = \frac{10000}{314} - 400 = \frac{10000 - 125600}{314} = -\frac{115600}{314} $$

Получили отрицательное число, следовательно, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что VN=7, NC=25, AC=20. Тогда:

$$ VC^2 = VN^2 + NC^2 $$ $$ VC^2 = 7^2 + 25^2 = 49 + 625 = 674 $$ $$ VC = \sqrt{674} $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и VNC. У них общий угол C, следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем отношение сторон:

$$ \frac{AC}{VC} = \frac{BC}{NC} $$

Выразим BC:

$$ BC = \frac{AC \cdot NC}{VC} = \frac{20 \cdot 25}{\sqrt{674}} = \frac{500}{\sqrt{674}} $$

Найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC:

$$ AB^2 = BC^2 - AC^2 $$ $$ AB^2 = \left(\frac{500}{\sqrt{674}}\right)^2 - 20^2 = \frac{250000}{674} - 400 = \frac{250000 - 269600}{674} = -\frac{19600}{674} $$

Получили отрицательное число, следовательно, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что NV = 7 м, NC = 5 м, АC = 10 м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник VNC. По теореме Пифагора:

$$ VC^2 = VN^2 + NC^2 $$ $$ VC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74 $$ $$ VC = \sqrt{74} $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и VNC. У них общий угол C, следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем отношение сторон:

$$\frac{AC}{VC} = \frac{BC}{NC}$$

Выразим BC:

$$ BC = \frac{AC \cdot NC}{VC} = \frac{10 \cdot 5}{\sqrt{74}} = \frac{50}{\sqrt{74}} $$

Найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC:

$$ AB^2 = BC^2 - AC^2 $$ $$ AB^2 = \left(\frac{50}{\sqrt{74}}\right)^2 - 10^2 = \frac{2500}{74} - 100 = \frac{2500 - 7400}{74} = -\frac{4900}{74} $$

Получили отрицательное число, следовательно, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что NV = 12 м, NC = 5 м, АC = 15 м. Тогда

$$ VC^2 = VN^2 + NC^2 $$ $$ VC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 $$ $$ VC = \sqrt{169} = 13 $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и VNC. У них общий угол C, следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем отношение сторон:

$$\frac{AC}{VC} = \frac{BC}{NC}$$

Выразим BC:

$$ BC = \frac{AC \cdot NC}{VC} = \frac{15 \cdot 5}{13} = \frac{75}{13} $$

Найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC:

$$ AB^2 = BC^2 - AC^2 $$ $$ AB^2 = \left(\frac{75}{13}\right)^2 - 15^2 = \frac{5625}{169} - 225 = \frac{5625 - 38025}{169} = -\frac{32400}{169} $$

Получили отрицательное число, следовательно, в условии задачи есть ошибка.

Исходя из условия задачи, что треугольник ABC прямоугольный, угол A=90, VN перпендикулярна BC, получается, что в условии задачи допущена ошибка.

Ответ: в условии задачи допущена ошибка.