Дан прямоугольный треугольник ДАВC, ZC = 90°, ∠A = 30°, СМ-медиана, MD биссектриса ДСМА, ВС=23 см. Найдите MD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам, угол A равен 30 градусам, а сторона BC равна 23 см. CM - медиана, MD - биссектриса угла CMA. Нам нужно найти MD.

1. Найдем угол B в треугольнике ABC:

$$∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°$$

2. Так как CM - медиана, проведенная к гипотенузе AB, то CM = AM = BM. Следовательно, треугольник AMC - равнобедренный с основанием AC.

3. В равнобедренном треугольнике AMC углы при основании равны, то есть ∠MAC = ∠MCA = 30°.

4. Найдем угол CMA:

$$∠CMA = 180° - (∠MAC + ∠MCA) = 180° - (30° + 30°) = 120°$$

5. Так как MD - биссектриса угла CMA, то она делит угол CMA пополам:

$$∠CMD = ∠DMA = ∠CMA / 2 = 120° / 2 = 60°$$

6. Рассмотрим треугольник CMD. В этом треугольнике ∠MCA = 30° и ∠CMD = 60°. Следовательно, ∠MDC = 180° - (∠MCA + ∠CMD) = 180° - (30° + 60°) = 90°.

7. Таким образом, треугольник CMD - прямоугольный с углом ∠MDC = 90°.

8. В прямоугольном треугольнике CMD катет CM лежит против угла в 30°. Следовательно, CM = 2 * CD.

9. Поскольку CM = AM = BM, а BC = 23 см, то AB = 2 * BC = 2 * 23 = 46 см (т.к. катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы). Следовательно, CM = AM = BM = AB/2 = 46/2 = 23 см.

10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Найдем сторону AC, используя тангенс угла B:

$$tg B=AC/BC$$

$$AC=BC*tg B=23*(√3)=23√3$$

11. AM+MB=AB

23+23=46

AM=AC=23

12. ∠MCD=30 (дано в условии)

∠CMD=30° (MD - биссектриса)

∆ CMD-равнобедренный, следовательно MD=CD

13. CD = (AC)/2

CD = (23√3)/2 = 11.5√3

Следовательно, MD=11.5√3

Ответ: 11.5√3