Дан прямоугольный треугольник ДАВС, ∠C = 90°, ∠A = 30°, СМ-медиана, MD биссектриса ДСМА, ВС=23 см. Найдите MD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°, BC = 23 см.

1) Найдём сторону АВ, зная, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

$$BC = \frac{1}{2} AB$$

$$AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 23 = 46 \text{ см}$$.

2) Найдём АС по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$$.

$$AC = \sqrt{46^2 - 23^2} = \sqrt{2116 - 529} = \sqrt{1587} = 23\sqrt{3} \text{ см}$$.

3) Так как СМ - медиана, проведённая к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы:

$$CM = AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 46 = 23 \text{ см}$$.

4) Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = CM, то треугольник AMC - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:

$$∠MAC = ∠MCA = 30°$$.

5) Найдём угол AMC:

$$∠AMC = 180° - (∠MAC + ∠MCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$$.

6) Так как MD - биссектриса угла CMA, то:

$$∠CMD = \frac{1}{2} ∠CMA = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$$.

7) Рассмотрим треугольник CMD. Найдём угол MDC:

$$∠MDC = 180° - (∠CMD + ∠MCA) = 180° - (60° + 30°) = 180° - 90° = 90°$$.

Значит, треугольник CMD - прямоугольный.

8) В прямоугольном треугольнике CMD, катет CM известен (23 см), а угол CMD равен 60°, тогда:

$$MD = CM \cdot cos(∠CMD)$$.

$$MD = 23 \cdot cos(60°) = 23 \cdot \frac{1}{2} = 11.5 \text{ см}$$.

Ответ: 11.5