Дан прямоугольный треугольник DNK и внешний угол угла ∠ DKN. Определи величины острых углов данного треугольника, если ∠ NKP = 102°. ∠DKN = ______; ∠DNK = ______.

Решение:

Треугольник DNK — прямоугольный, значит, \( \angle DNK = 90^{\circ} \). Угол \( \angle NKP \) — внешний угол треугольника при вершине K. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. В нашем случае, \( \angle NKP = \angle KDN + \angle DNK \).

Угол \( \angle DKN \) и внешний угол \( \angle NKP \) — смежные, поэтому их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle DKN + \angle NKP = 180^{\circ} \)

\( \angle DKN + 102^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle DKN = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Углы \( \angle DKN \) и \( \angle DNK \) являются острыми углами прямоугольного треугольника DNK.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^{\circ} \).

\( \angle KDN + \angle DNK = 90^{\circ} \)

\( 78^{\circ} + \angle DNK = 90^{\circ} \)

\( \angle DNK = 90^{\circ} - 78^{\circ} = 12^{\circ} \).

Ответ: ∠DKN = 78°; ∠DNK = 12°.