Дан прямоугольный треугольник LKP, ∠К — прямой. Из вершины L к катету КР проведена биссектриса LB и BP 5 = BK 3 Чему равен косинус угла LPK?

Ответ: 0.6

Разбираемся:

В прямоугольном треугольнике LKP, LB - биссектриса угла L. Отношение BP/BK = 5/3. Нужно найти косинус угла LPK.

Шаг 1: Определение тангенса угла LPK

Тангенс угла LPK равен отношению противолежащего катета PK к прилежащему катету LK, то есть: \[\tan(LPK) = \frac{PK}{LK}\]

Шаг 2: Использование свойства биссектрисы угла в треугольнике

По свойству биссектрисы угла в треугольнике, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае, биссектриса LB делит катет KP на отрезки BK и BP. Значит, \[\frac{BK}{BP} = \frac{LK}{LP}\]

Из условия задачи известно, что \[\frac{BP}{BK} = \frac{5}{3}\] Следовательно, \[\frac{BK}{BP} = \frac{3}{5}\] Значит, \[\frac{LK}{LP} = \frac{3}{5}\]

Шаг 3: Введение переменной для упрощения расчетов

Пусть LK = 3x, тогда LP = 5x. Используем теорему Пифагора для треугольника LKP: \[LK^2 + KP^2 = LP^2\] \[(3x)^2 + KP^2 = (5x)^2\] \[9x^2 + KP^2 = 25x^2\] \[KP^2 = 16x^2\] \[KP = 4x\]

Шаг 4: Расчет тангенса угла LPK

Теперь мы можем найти тангенс угла LPK: \[\tan(LPK) = \frac{PK}{LK} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}\]

Шаг 5: Расчет косинуса угла LPK

Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\] Мы знаем, что \[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\] Следовательно, \[\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\] Подставим это в основное тригонометрическое тождество: \[(\tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha))^2 + \cos^2(\alpha) = 1\] \[\tan^2(\alpha) \cdot \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\] \[\cos^2(\alpha) (\tan^2(\alpha) + 1) = 1\] \[\cos^2(\alpha) = \frac{1}{\tan^2(\alpha) + 1}\] \[\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{\tan^2(\alpha) + 1}}\] Подставим значение тангенса: \[\cos(LPK) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{4}{3})^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{9} + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Ответ: 0.6