Дан прямоугольный треугольник LKP, ДК прямой. Из вершины 1 к катету КР проведена биссектриса LB и \frac{BP}{BK} = \frac{5}{3}. Чему равен косинус угла LPK?

Краткое пояснение: Используем свойство биссектрисы и теорему Пифагора, чтобы найти косинус угла.

1. Шаг 1: Обозначим стороны и применим свойство биссектрисы. Пусть BP = 5x, тогда BK = 3x. Пусть LK = a, LP = b, KP = 8x. По свойству биссектрисы \(\frac{LP}{LK} = \frac{BP}{BK}\), следовательно, \(\frac{b}{a} = \frac{5}{3}\), то есть \(b = \frac{5}{3}a\).
2. Шаг 2: Применим теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике LKP: \(a^2 + (8x)^2 = b^2\). Подставим \(b = \frac{5}{3}a\): \(a^2 + 64x^2 = (\frac{5}{3}a)^2\).
3. Шаг 3: Упростим уравнение и выразим a через x. \(a^2 + 64x^2 = \frac{25}{9}a^2\), \(\frac{16}{9}a^2 = 64x^2\), \(a^2 = \frac{9}{16} \cdot 64x^2\), \(a^2 = 36x^2\), \(a = 6x\).
4. Шаг 4: Найдем b. \(b = \frac{5}{3}a = \frac{5}{3} \cdot 6x = 10x\).
5. Шаг 5: Найдем косинус угла LPK. \(\cos(\angle LPK) = \frac{KP}{LP} = \frac{8x}{10x} = \frac{4}{5}\).

Ответ: \(\frac{4}{5}\)