Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетом AC = 12 см, и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Так как треугольник ABC равнобедренный, его второй катет также равен 12 см: BC = AC = 12 см.

Обозначим сторону квадрата через x. Вершина E лежит на гипотенузе, поэтому отрезки, отсекаемые квадратом на катетах, имеют длину x, а координатное условие гипотенузы даёт:

\[x+x=12\]

\[2x=12,\qquad x=6\text{ см}.\]

Периметр квадрата:

\[P=4x=4\cdot6=24\text{ см}.\]

Ответ: 24 см.