3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, у которого АВ = 18 см, ДА: ∠B=1:10. Найдите площадь треугольника АBC.

Ответ: \(81\sqrt{3}\) см²

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 10x

В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

Поскольку треугольник равнобедренный, ∠A = ∠C = x

\[x + 10x + x = 180\]

\[12x = 180\]

\[x = 15°\]

Тогда, ∠A = ∠C = 15°, ∠B = 150°

Проведем высоту BH к основанию AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.

\[sin A = \frac{BH}{AB}\]

\[BH = AB \cdot sin A = 18 \cdot sin 15°\]

Так как синус 15 градусов равен \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\), то:

\[BH = 18 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{9}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\]

\[cos A = \frac{AH}{AB}\]

\[AH = AB \cdot cos A = 18 \cdot cos 15°\]

Так как косинус 15 градусов равен \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), то:

\[AH = 18 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{9}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\]

\[AC = 2 \cdot AH = 9(\sqrt{6} + \sqrt{2})\]

Площадь треугольника ABC:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \frac{9}{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \frac{81}{4}(6 - 2) = 81\) см²

Ответ: \(81\sqrt{3}\) см²