1. Дан равнобедренный треугольник КМР с основанием КР. МО – биссектриса угла NMP. Известно, что угол Р равен 37°. Найдите величину угла ОМК.

Ответ: 111°

Решение:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, угол K равен углу P и равен 37°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол M равен 180° - 37° - 37° = 106°.
• MO - биссектриса угла NMP, следовательно, угол OMP равен половине угла NMP, то есть 106° / 2 = 53°.
• Угол PMK - это угол P, который равен 37°.
• Искомый угол ОМК состоит из двух углов: ОМР и РМК. Находим каждый угол по отдельности и складываем результаты.

Теперь найдём величину угла OMK:

\[\angle OMK = \angle OMP + \angle PMK = 53^\circ + 37^\circ = 90^\circ\]

Для угла PMK понадобится теорема о сумме углов в треугольнике.

Для угла OMP необходимо вспомнить определение биссектрисы угла.

На уроке было утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углов.

Применим это к углу NMP.

Альтернативное решение

• Угол, смежный с углом NMP, равен 180 - 106 = 74°
• Т.к. MO - биссектриса, то угол OMP = углу OMN = 1/2 угла NMP = 106/2 = 53°
• Рассмотрим треугольник MOP. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно угол MOP = 180 - (37 + 53) = 90°
• Угол MOK = 180 - угол MOP = 180 - 90 = 90°
• Угол OMK = 180 - (90 + 37) = 180 - 127 = 53°

Ответ: 111°