Дан равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\), \(AM\) – его медиана. Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\).

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\). \(AM\) - медиана, следовательно, \(M\) - середина \(BC\).

1. Найдем длину вектора \(\overrightarrow{AB}\).

Длина \(\overrightarrow{AB}\) равна длине стороны \(AB\), то есть \(|\overrightarrow{AB}| = 4\).

2. Найдем длину вектора \(\overrightarrow{AM}\).

Так как \(ABC\) - равносторонний треугольник, то медиана \(AM\) также является высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABM\). По теореме Пифагора:

\(AM^2 + BM^2 = AB^2\)

\(AM^2 = AB^2 - BM^2\)

Так как \(M\) - середина \(BC\), то \(BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\).

Тогда \(AM^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\).

\(AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Следовательно, \(|\overrightarrow{AM}| = 2\sqrt{3}\).

3. Найдем угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\).

Так как \(AM\) - высота, то угол \(BAM\) равен половине угла \(BAC\). В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), следовательно, угол \(BAM = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).

4. Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\).

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot \cos{\angle BAM} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}\)

\(\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\).

Ответ: 12