327. Дан равносторонний треугольник АВС и точка В₁ на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А₁ и С₁ так, чтобы треугольник А₁В₁С₁ был равносторонним.

Задача 327: Построение равностороннего треугольника A₁B₁C₁. 1. **Анализ задачи:** Дан равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. Требуется построить точки A₁ на стороне BC и C₁ на стороне AB так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним. 2. **План решения:** * **Шаг 1:** Выбор угла поворота. Идея состоит в том, чтобы повернуть треугольник ABC вокруг точки B₁ на некоторый угол, чтобы точка A перешла в точку C₁, а точка C перешла в точку A₁. * **Шаг 2:** Определение угла поворота. Поскольку треугольник A₁B₁C₁ должен быть равносторонним, углы между B₁A₁ и B₁C₁, а также между B₁C₁ и B₁A₁ должны быть 60 градусов. * **Шаг 3:** Построение точки C₁. Из точки B₁ проводим луч под углом 60 градусов к стороне AC в сторону стороны AB. Точка пересечения этого луча со стороной AB является точкой C₁. * **Шаг 4:** Построение точки A₁. Аналогично, из точки B₁ проводим луч под углом 60 градусов к стороне AC в сторону стороны BC. Точка пересечения этого луча со стороной BC является точкой A₁. 3. **Обоснование:** По построению, углы C₁B₁A₁ и A₁B₁C₁ равны 60 градусам. Следовательно, треугольник A₁B₁C₁ - равносторонний (по признаку равностороннего треугольника - все углы равны 60 градусам). 4. **Детали построения:** * Построение угла 60 градусов можно выполнить с помощью циркуля и линейки, как было описано в предыдущих задачах (построение равностороннего треугольника). * Важно правильно выбрать направление для построения лучей из точки B₁, чтобы точки C₁ и A₁ попали на стороны AB и BC соответственно.