Дан равносторонний треугольник. Вычисли неизвестные величины, если BO = 8. r — радиус вписанной окружности; EO = ?; BE = ?; AD = ?; EC = ?

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают, и он делит медианы (которые также являются высотами и биссектрисами) в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка O — центр окружности.

BO — это радиус описанной окружности (R). По условию BO = 8.

EO — это радиус вписанной окружности (r).

Так как BO : EO = 2 : 1, то EO = BO / 2 = 8 / 2 = 4.

BE — это медиана (и высота) равностороннего треугольника.

BE = BO + EO = 8 + 4 = 12.

AD — это тоже медиана (и высота) равностороннего треугольника.

В равностороннем треугольнике все медианы равны, поэтому AD = BE = 12.

EC — это половина стороны AC, так как E — середина стороны AC (поскольку BE — медиана).

Мы знаем, что высота равностороннего треугольника равна $h\; =\; \backslash frac\{a\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, где a — сторона треугольника.

Мы нашли, что высота BE = 12, поэтому $12\; =\; \backslash frac\{a\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$.

Отсюда находим сторону a:

$a\; =\; \backslash frac\{12\; \backslash times\; 2\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\; =\; \backslash frac\{24\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\; =\; \backslash frac\{24\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}\; =\; 8\backslash sqrt\{3\}$.

Теперь находим EC:

EC = a / 2 = (8$$$$$$) / 2 = 4$$.

Ответ:

• r = 4
• EO = 4
• BE = 12
• AD = 12
• EC = 4$$