Дан равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = 6, АМ - его медиана. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АМ.

1. Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны, и углы равны 60 градусов. Медиана AM является также и высотой, и биссектрисой.
2. Длина стороны AB равна 6.
3. Длина медианы AM равна половине стороны BC, так как M - середина BC. Следовательно, AM = 3.
4. Угол между векторами AB и AM равен углу BAM, который равен половине угла BAC, то есть 30 градусов.
5. Скалярное произведение векторов AB и AM равно произведению их длин на косинус угла между ними:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot \cos(\angle BAM) = 6 \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ)\] \[= 6 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\]