Дан тетраэдр MABC (рис. 1), каждое ребро которого равно 6 см. D ∈ MB, E ∈ MC, F ∈ AB, AF = FB, P ∈ MA. 1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) MAB и MFC, б) MCF и ABC. 2. Найдите длину CF и S_{ABC}.

1а) Плоскости MAB и MFC имеют общие точки M и F, поэтому пересекаются по прямой MF.

1б) Плоскости MCF и ABC имеют общие точки C и F, поэтому пересекаются по прямой CF.

2) Так как AF = FB и AB = 6 см, то F — середина отрезка AB:

\(AF = FB = 3\) см.

В равностороннем треугольнике ABC медиана CF является также высотой. По теореме Пифагора:

\[CF = \sqrt{AC^2-AF^2} = \sqrt{6^2-3^2} = \sqrt{36-9} = 3\sqrt{3}\text{ см}.\]

Площадь равностороннего треугольника ABC:

\[S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Ответ: а) MF; б) CF; \(CF=3\sqrt{3}\) см, \(S_{ABC}=9\sqrt{3}\) см².