Дан треугольник ABC, M ∈ AB, K ∈ BC, BM:MA = 3:4. Через прямую MK проходит плоскость α, параллельная прямой AC. а) Докажите, что BC:BK = 7:3. б) Найдите длину отрезка MK, если AC = 14 см.

а) Так как плоскость α проходит через MK и параллельна AC, её пересечение с плоскостью треугольника ABC — прямая MK — параллельна AC. Поэтому треугольники BMK и BAC подобны.

Из BM:MA = 3:4 следует, что BM:BA = 3:(3 + 4) = 3:7. По подобию треугольников BK:BC = BM:BA = 3:7, следовательно, BC:BK = 7:3.

б) По подобию MK:AC = BM:BA = 3:7. Тогда MK = 14 · 3/7 = 6 см.

Ответ: а) BC:BK = 7:3; б) MK = 6 см.