Дан треугольник ABC. Пусть K и T — середины сторон AB и BC соответственно. Выразите вектор AC через векторы AT и CK. Укажите значения коэффициентов x и y в разложении AC = x·AT + y·CK. Значение x равно: −2/3, 1/3, −1/3, 2/3. Значение y равно: 2/3, 1/3, −1/3, −2/3.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AC}=\mathbf c\). Так как T — середина BC, то \(\overrightarrow{AT}=\frac12(\mathbf b+\mathbf c)\). Так как K — середина AB, то \(\overrightarrow{CK}=\frac12\mathbf b-\mathbf c\).

Пусть \(\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AT}+y\overrightarrow{CK}\). Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf c\), получаем систему: \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=0\), \(\frac{x}{2}-y=1\). Из первого уравнения \(y=-x\). Тогда \(\frac{3x}{2}=1\), откуда \(x=\frac23\) и \(y=-\frac23\).

Ответ: \(x=\frac23\), \(y=-\frac23\).