Дан треугольник ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Выразите вектор AC через векторы AN и CM. Укажите значения коэффициентов x и y в разложении AC = x · AN + y · CM. Выберите верное равенство для вектора AN.

Обозначим векторы сторон треугольника: \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{AC}=\mathbf{v}\).

Так как N — середина BC, то \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

Так как M — середина AB, то \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Ищем коэффициенты из равенства \(\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AN}+y\overrightarrow{CM}\). Подставим выражения через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AC}=\frac{x-y}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{x-y}{2}\overrightarrow{AC}\) — это вычисление требовало бы одинаковых коэффициентов, поэтому проверим в базисе \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\): \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CM}=-\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\), а \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).

Сравнивая коэффициенты, получаем систему \(x-\frac{y}{2}=1\), \(\frac{x}{2}-y=1\). Из неё \(x=\frac23\), \(y=-\frac23\).

Для вектора \(\overrightarrow{AN}\), поскольку N — середина BC, верно равенство \(\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\).

Ответ: \(x=\frac23\), \(y=-\frac23\); верное равенство — \(\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\).