Дан треугольник АВС. Известно, что АС = BC.AB=21, ∠C=120°. Найдите длину высоты АН треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABC. Он является равнобедренным, так как AC = BC. AB = 21, ∠C = 120°.

Высота AH является также медианой и биссектрисой угла BAC.

Определим углы при основании AB:

$$\angle A = \angle B = \frac{180 - 120}{2} = \frac{60}{2} = 30^{\circ}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нём:

$$\angle HAC = 30^{\circ}$$

Сторона HC = AC / 2

Определим высоту AH через тангенс угла HAC:

$$tg 30^{\circ} = \frac{HC}{AH}$$, следовательно

$$AH = \frac{HC}{tg 30^{\circ}} = \frac{10,5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{10,5 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{31,5}{\sqrt{3}} = \frac{31,5 \cdot \sqrt{3}}{3} = 10,5\sqrt{3}$$

Ответ: $$10,5\sqrt{3}$$