3. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка С так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см.

В условии задачи имеется опечатка. На стороне AC отмечена точка K, так что AK = 6 см, KC = 9 см. Необходимо найти площади треугольников ABK и CBK, если AB = 13 см, BC = 14 см.

1. Пусть $$S_{ABK}$$ - площадь треугольника ABK, а $$S_{CBK}$$ - площадь треугольника CBK. Треугольники ABK и CBK имеют общую высоту, проведённую из вершины B к стороне AC. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований. Таким образом, $$ \frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{AK}{KC} $$.

2. Подставим известные значения: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$. Отсюда, $$ S_{ABK} = \frac{2}{3} S_{CBK} $$.

3. Чтобы найти площади треугольников, воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника по трём сторонам. Сначала найдём площадь треугольника ABC, где AB = 13 см, BC = 14 см, AC = AK + KC = 6 + 9 = 15 см.

4. Полупериметр треугольника ABC: $$ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см} $$.

5. Площадь треугольника ABC по формуле Герона: $$ S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2 $$.

6. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABK и CBK: $$ S_{ABC} = S_{ABK} + S_{CBK} $$. Подставим $$ S_{ABK} = \frac{2}{3} S_{CBK} $$: $$ 84 = \frac{2}{3} S_{CBK} + S_{CBK} = \frac{5}{3} S_{CBK} $$.

7. Найдём $$ S_{CBK} $$: $$ S_{CBK} = \frac{3}{5} \cdot 84 = \frac{252}{5} = 50.4 \text{ см}^2 $$.

8. Найдём $$ S_{ABK} $$: $$ S_{ABK} = \frac{2}{3} \cdot 50.4 = \frac{100.8}{3} = 33.6 \text{ см}^2 $$.

Ответ: $$S_{ABK} = 33.6 \text{ см}^2$$, $$S_{CBK} = 50.4 \text{ см}^2$$