Дан треугольник АВС с периметром 30 см, АК — его медиана. Периметр треугольника АВК равен 18 см, периметр треугольника АСК — 24 см. Найдите длину медианы АК в сантиметрах.

Решение:

Пусть стороны треугольника АВС равны AB = c, BC = a, AC = b. Периметр треугольника АВС равен P_ABC = a + b + c = 30 см.

АК — медиана, значит, она делит сторону ВС пополам: BK = KC = a/2.

Периметр треугольника АВК равен P_ABK = AB + BK + AK = c + a/2 + AK = 18 см.

Периметр треугольника АСК равен P_ASK = AC + KC + AK = b + a/2 + AK = 24 см.

Сложим периметры треугольников АВК и АСК:

P_ABK + P_ASK = (c + a/2 + AK) + (b + a/2 + AK) = 18 + 24

c + b + a + 2AK = 42

Мы знаем, что a + b + c = 30, подставим это значение в уравнение:

30 + 2AK = 42

Теперь найдем AK:

2AK = 42 - 30

2AK = 12

AK = 12 / 2

AK = 6 см.

Ответ: 6 см.