Дан треугольник АВС. Точки А1, В1, С1 — середины сторон ВС, АС, АВ соответственно. Сопоставьте каждой тройке окружностей их радикальный центр.

Решение

Для сопоставления троек окружностей их радикальным центрам, воспользуемся свойствами радикальных осей и центров.

1. Окружности, построенные на отрезках АВ, АС, ВС как на диаметрах

Радикальный центр трех таких окружностей — это точка, равноудаленная от них. В данном случае, центры этих окружностей находятся в серединах сторон АВ, АС, ВС. Радикальная ось двух окружностей — это множество точек, степени которых относительно этих окружностей равны. Для окружностей, построенных на сторонах как на диаметрах, радикальная ось перпендикулярна линии, соединяющей центры. Радикальный центр трех таких окружностей является ортоцентром треугольника ABC.

2. Описанные окружности треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1

Треугольники AB1C1, BA1C1, CA1B1 подобны треугольнику ABC. Их описанные окружности имеют центры, расположенные в серединах сторон AB, BC, CA соответственно. Радикальный центр этих трех окружностей будет центром вписанной окружности треугольника ABC.

3. Вневписанные окружности треугольника ABC

Вневписанные окружности касаются одной стороны треугольника и продолжений двух других. Их радикальный центр — это центр описанной окружности треугольника ABC.

4. Окружности, которые попарно касаются друг друга внешним образом в вершинах треугольника ABC

Эти окружности являются окружностями, построенными на сторонах треугольника как на диаметрах. Их радикальный центр — ортоцентр треугольника ABC. Однако, в данном случае, такое описание может относиться к окружностям, центры которых находятся в вершинах A, B, C и касаются противоположных сторон. В таком случае радикальный центр — это точка пересечения медиан треугольника ABC (центроид).

5. Центр вписанной окружности треугольника ABC

Центр вписанной окружности треугольника ABC является точкой, равноудаленной от сторон треугольника. Это центр вписанной окружности треугольника A1B1C1.

6. Центр описанной окружности треугольника ABC

Центр описанной окружности треугольника ABC является точкой, равноудаленной от вершин треугольника. Это центр описанной окружности треугольника A1B1C1.

7. Центр вписанной окружности треугольника A1B1C1

Центр вписанной окружности треугольника A1B1C1.

8. Центр описанной окружности треугольника A1B1C1

Центр описанной окружности треугольника A1B1C1.

Итоговое сопоставление:

• Окружности, построенные на отрезках АВ, АС, ВС как на диаметрах - Ортоцентр треугольника ABC
• Описанные окружности треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1 - Центр вписанной окружности треугольника ABC
• Вневписанные окружности треугольника ABC - Центр описанной окружности треугольника ABC
• Окружности, которые попарно касаются друг друга внешним образом в вершинах треугольника ABC - Точка пересечения медиан треугольника ABC
• Центр вписанной окружности треугольника ABC - Центр вписанной окружности треугольника A1B1C1
• Центр описанной окружности треугольника ABC - Центр описанной окружности треугольника A1B1C1