Дан треугольник АВС. Пусть К и Т – середины сторон АВ и ВС соответственно. Выразите вектор \(\overrightarrow{AC}\) через векторы \(\overrightarrow{AT}\) и \(\overrightarrow{CK}\). Укажите значения коэффициентов x и y в разложении \(\overrightarrow{AC} = x \cdot \overrightarrow{AT} + y \cdot \overrightarrow{CK}\). Значение x равно. Значение y равно.

Поскольку на изображении отмечены выбранные варианты ответов, я не могу их использовать как истинные данные. Необходимо решить задачу самостоятельно. Обозначим \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c}\). Тогда \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\). Выразим \(\overrightarrow{AT}\) и \(\overrightarrow{CK}\) через \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\). \(\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BT} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\) \(\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BK} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\) Подставим в выражение \(\overrightarrow{AC} = x \cdot \overrightarrow{AT} + y \cdot \overrightarrow{CK}\): $$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = x \cdot (\overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}) + y \cdot (-\overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b})$$ $$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (x - \frac{1}{2}y) \overrightarrow{b} + (\frac{1}{2}x - y) \overrightarrow{c}$$ Приравняем коэффициенты при \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\): $$\begin{cases} x - \frac{1}{2}y = 1 \\ \frac{1}{2}x - y = 1 \end{cases}$$ Решим систему уравнений: Умножим второе уравнение на 2: $$x - 2y = 2$$ Выразим x из первого уравнения: $$x = 1 + \frac{1}{2}y$$ Подставим в преобразованное второе уравнение: $$1 + \frac{1}{2}y - 2y = 2$$ $$-\frac{3}{2}y = 1$$ $$y = -\frac{2}{3}$$ Теперь найдем x: $$x = 1 + \frac{1}{2}(-\frac{2}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Таким образом, \(x = \frac{2}{3}\) и \(y = -\frac{2}{3}\). Ответ: Значение x равно \(\frac{2}{3}\). Значение y равно \(-\frac{2}{3}\).