Дан треугольник FOX. Пусть M и N — середины сторон FO и OX соответственно. Выразите вектор FX через векторы FN и XM. Укажите значения коэффициентов x и y в разложении FX = x·FN + y·XM. Значение x равно; значение y равно.

Так как M и N — середины сторон, по правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{FN}=\frac12\overrightarrow{FO}+\frac12\overrightarrow{FX}\), а \(\overrightarrow{XM}=\frac12\overrightarrow{OF}+\frac12\overrightarrow{XF}=\frac12\overrightarrow{FO}-\overrightarrow{FX}\).

Обозначим \(\overrightarrow{FO}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{FX}=\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{FN}=\frac12(\mathbf a+\mathbf b)\), \(\overrightarrow{XM}=\frac12\mathbf a-\mathbf b\).

Подставим в разложение и приравняем коэффициенты при независимых векторах \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\):

\(\mathbf b=x\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}+y(\frac12\mathbf a-\mathbf b)\).

При \(\mathbf a\): \(x+y=0\). При \(\mathbf b\): \(\frac{x}{2}-y=1\). Отсюда \(y=-x\), поэтому \(\frac{3x}{2}=1\), то есть \(x=\frac23\), \(y=-\frac23\).

Ответ: \(x=\frac23\), \(y=-\frac23\).