1. Дан треугольник ХНВ с прямым углом Н. а) Заполните пропуски: sin ∠B = ...; cos ∠B = ...; tg ∠B = —; ctg ∠X = ... б) Найдите tg ZX tg ZB. в) Найдите cos ZX - sin ∠B. 2. Дан прямоугольный треугольник NFS с прямым углом Ѕ. Найдите синусы углов № и F, если NS = 15 см, FS = 8 см. 3. Дан прямоугольный треугольник RSF с прямым углом F. Найдите тангенсы углов R и S, если RS = 40 см, SF = 32 см. 4. Синус острого угла с равен 1/8. Найдите его косинус, тангенс и котангенс. 5. Косинус острого угла а равен 1/2. Найдите его синус, тангенс и котангенс.

1. Дан треугольник ХНВ с прямым углом Н.

а) Заполните пропуски:

• \(\sin \angle B = \frac{XH}{XB}\)
• \(\cos \angle B = \frac{HB}{XB}\)
• \(\text{tg } \angle B = \frac{XH}{HB}\)
• \(\text{ctg } \angle X = \frac{XH}{HB}\)

б) Найдите \(\text{tg } \angle X \cdot \text{tg } \angle B\).

• \(\angle X + \angle B = 90^{\circ}\)
• \(\text{tg } \angle X = \frac{HB}{XH}\)
• \(\text{tg } \angle B = \frac{XH}{HB}\)
• \(\text{tg } \angle X \cdot \text{tg } \angle B = \frac{HB}{XH} \cdot \frac{XH}{HB} = 1\)

Ответ: 1

в) Найдите \(\cos \angle X - \sin \angle B\).

• \(\angle X = 90^{\circ} - \angle B\)
• \(\cos \angle X = \cos (90^{\circ} - \angle B) = \sin \angle B\)
• \(\cos \angle X - \sin \angle B = \sin \angle B - \sin \angle B = 0\)

Ответ: 0

2. Дан прямоугольный треугольник NFS с прямым углом Ѕ. Найдите синусы углов N и F, если NS = 15 см, FS = 8 см.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим гипотенузу NF по теореме Пифагора:
  • \(NF = \sqrt{NS^2 + FS^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \) см
• Шаг 2: Выражаем синусы углов N и F:
  • \(\sin \angle N = \frac{FS}{NF} = \frac{8}{17}\)
  • \(\sin \angle F = \frac{NS}{NF} = \frac{15}{17}\)

Ответ: \(\sin \angle N = \frac{8}{17}\), \(\sin \angle F = \frac{15}{17}\)

3. Дан прямоугольный треугольник RSF с прямым углом F. Найдите тангенсы углов R и S, если RS = 40 см, SF = 32 см.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим катет RF по теореме Пифагора:
  • \(RF = \sqrt{RS^2 - SF^2} = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24 \) см
• Шаг 2: Выражаем тангенсы углов R и S:
  • \(\text{tg } \angle R = \frac{SF}{RF} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}\)
  • \(\text{tg } \angle S = \frac{RF}{SF} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}\)

Ответ: \(\text{tg } \angle R = \frac{4}{3}\), \(\text{tg } \angle S = \frac{3}{4}\)

4. Синус острого угла \(\alpha\) равен \(\frac{1}{8}\). Найдите его косинус, тангенс и котангенс.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим косинус угла \(\alpha\) из основного тригонометрического тождества:
  • \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
  • \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}\)
• Шаг 2: Находим тангенс угла \(\alpha\):
  • \(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = \frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{21}\)
• Шаг 3: Находим котангенс угла \(\alpha\):
  • \(\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{21}} = \frac{21}{\sqrt{7}} = 3\sqrt{7}\)

Ответ: \(\cos \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}\), \(\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{7}}{21}\), \(\text{ctg } \alpha = 3\sqrt{7}\)

5. Косинус острого угла а равен \(\frac{1}{2}\). Найдите его синус, тангенс и котангенс.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим синус угла \(\alpha\) из основного тригонометрического тождества:
  • \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
  • \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Шаг 2: Находим тангенс угла \(\alpha\):
  • \(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)
• Шаг 3: Находим котангенс угла \(\alpha\):
  • \(\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\text{tg } \alpha = \sqrt{3}\), \(\text{ctg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\)