Дан вписанный в окружность четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3, BC = 4, CD = 5, DA = 8. Продолжения сторон АВ и CD пересекаются в точке Р, а продолжения сторон ВС и DA в точке Q. Найдите сумму длин отрезков QА и РС. QA + PC =

Пусть QA = x и PC = y.

По свойству касательной и секущей имеем:

QB² = QA * QD, то есть QB² = x * (x + 8).

PB² = PC * PA, то есть PB² = y * (y + 5).

Рассмотрим секущие, проведенные из точки Q к окружности: QA и QC, и из точки P к окружности: PC и PA. По свойству секущихся:

QA · QD = QB · QC и PC · PA = PB · PD

Тогда получим:

QA · (QA + AD) = QB · (QB + BC), подставим известные значения:

x · (x + 8) = (x + 4) · (x + 3)

Раскроем скобки:

$$x^2 + 8x = x^2 + 7x + 12$$

$$x = 12$$

PC · (PC + CD) = PB · (PB + BA), подставим известные значения:

$$y · (y + 5) = (y + 4) · (y + 3)$$

Раскроем скобки:

$$y^2 + 5y = y^2 + 7y + 12$$

$$2y = 12$$

$$y = 6$$

QA + PC = x + y

QA + PC = 12 + 6 = 18

Ответ: 18