18. Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых ее 10 членов равна 60, а сумма первых 20 ее членов равна 320. Найдите 15-й член этой прогрессии?

Решение:

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $$a_1$$, а разность как $$d$$. Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Используя данную формулу, запишем выражения для суммы первых 10 и 20 членов:

1. Сумма первых 10 членов:

$$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 60$$

$$2a_1 + 9d = 12$$ (1)

1. Сумма первых 20 членов:

$$S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = 320$$

$$2a_1 + 19d = 32$$ (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$$(2a_1 + 19d) - (2a_1 + 9d) = 32 - 12$$

$$10d = 20$$

$$d = 2$$

Подставим найденное значение $$d$$ в уравнение (1):

$$2a_1 + 9(2) = 12$$

$$2a_1 + 18 = 12$$

$$2a_1 = -6$$

$$a_1 = -3$$

Теперь найдем 15-й член прогрессии по формуле:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

$$a_{15} = a_1 + 14d$$

$$a_{15} = -3 + 14(2)$$

$$a_{15} = -3 + 28$$

$$a_{15} = 25$$

Ответ: 25