18. Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых ее 10 членов равна 60, а сумма первых 20 ее членов равна 320. Найдите 15-й член этой прогрессии?

Решение:

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a₁, а разность равна d.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

По условию, сумма первых 10 членов равна 60, а сумма первых 20 членов равна 320. Тогда имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = 60 \\ S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = 320 \end{cases}$$

$$\begin{cases} (2a_1 + 9d) \cdot 5 = 60 \\ (2a_1 + 19d) \cdot 10 = 320 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2a_1 + 9d = 12 \\ 2a_1 + 19d = 16 \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$10d = 4$$ $$d = 0.4$$

Подставим значение d в первое уравнение:

$$2a_1 + 9(0.4) = 12$$ $$2a_1 + 3.6 = 12$$ $$2a_1 = 8.4$$ $$a_1 = 4.2$$

Теперь найдем 15-й член прогрессии по формуле:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$a_{15} = a_1 + (15-1)d$$ $$a_{15} = 4.2 + 14(0.4)$$ $$a_{15} = 4.2 + 5.6$$ $$a_{15} = 9.8$$

Ответ: 9.8