Дана АВС с координатами A(4;8), B(1;5), C(3;1). Определите: а) косинусы углов АВС; б) тип углов; в) тип АВС по углам, по сторонам.

1. Вычисляем длины сторон треугольника:

AB = sqrt((1-4)^2 + (5-8)^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18)

BC = sqrt((3-1)^2 + (1-5)^2) = sqrt(4+16) = sqrt(20)

AC = sqrt((3-4)^2 + (1-8)^2) = sqrt(1+49) = sqrt(50)

2. Вычисляем косинусы углов по теореме косинусов:

cos(A) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = (18 + 50 - 20) / (2 * sqrt(18) * sqrt(50)) = 48 / (2 * 30) = 0.8

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) = (18 + 20 - 50) / (2 * sqrt(18) * sqrt(20)) = -12 / (2 * sqrt(360)) = -12 / (2 * 6 * sqrt(10)) = -1 / sqrt(10) ≈ -0.316

cos(C) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC) = (20 + 50 - 18) / (2 * sqrt(20) * sqrt(50)) = 52 / (2 * sqrt(1000)) = 52 / (2 * 10 * sqrt(10)) = 2.6 / sqrt(10) ≈ 0.822

3. Определяем тип углов и треугольника:

Так как cos(B) отрицательный, угол B тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный.

По углам: тупоугольный.

По сторонам: так как все стороны имеют разную длину (sqrt(18), sqrt(20), sqrt(50)), треугольник разносторонний.