Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат AB со стороной AB = √2. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка K – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми AK и DC, если SB = 8√3.

Пошаговое решение:

1. Введем систему координат с началом в точке B, ось BX направим по BC, BY – по BA и BZ – по BS. Тогда координаты точек будут следующими:
   \( B(0; 0; 0) \), \( A(0; \sqrt{2}; 0) \), \( C(\sqrt{2}; 0; 0) \), \( D(\sqrt{2}; \sqrt{2}; 0) \), \( S(0; 0; 8\sqrt{3}) \), \( K(0; 0; 4\sqrt{3}) \).
2. Найдем координаты вектора \(\vec{AK}\):
   \( \vec{AK} = (0 - 0; 0 - \sqrt{2}; 4\sqrt{3} - 0) = (0; -\sqrt{2}; 4\sqrt{3}) \).
3. Найдем координаты вектора \(\vec{DC}\):
   \( \vec{DC} = (\sqrt{2} - \sqrt{2}; 0 - \sqrt{2}; 0 - 0) = (0; -\sqrt{2}; 0) \).
4. Найдем косинус угла между векторами \(\vec{AK}\) и \(\vec{DC}\) по формуле:
   \( cos(\alpha) = \frac{\vec{AK} \cdot \vec{DC}}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{DC}|} \), где \(\vec{AK} \cdot \vec{DC}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\vec{AK}|\) и \(|\vec{DC}|\) - их длины.
5. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AK}\) и \(\vec{DC}\):
   \( \vec{AK} \cdot \vec{DC} = 0 \cdot 0 + (-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) + 4\sqrt{3} \cdot 0 = 0 + 2 + 0 = 2 \).
6. Вычислим длину вектора \(\vec{AK}\):
   \( |\vec{AK}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 2 + 48} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
7. Вычислим длину вектора \(\vec{DC}\):
   \( |\vec{DC}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 2 + 0} = \sqrt{2} \).
8. Найдем косинус угла:
   \( cos(\alpha) = \frac{2}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0.2 \).

Ответ: 0.2