Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной AB=\(\sqrt{2}\). Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка K – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми AK и DC, если SB = \(2\sqrt{6}\).

Пошаговое решение:

1. Введем систему координат с началом в точке B, осью BX, направленной вдоль BC, осью BY, направленной вдоль BA, и осью BZ, направленной вдоль BS.
2. Определим координаты точек:
   • \(B(0;0;0)\)
   • \(A(0;\sqrt{2};0)\)
   • \(C(\sqrt{2};0;0)\)
   • \(D(\sqrt{2};\sqrt{2};0)\)
   • \(S(0;0;2\sqrt{6})\)
3. Точка K – середина SB, следовательно, ее координаты:
   • \(K(0;0;\sqrt{6})\)
4. Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AK}\):
   • \(\overrightarrow{AK} = (0-0; 0-\sqrt{2}; \sqrt{6}-0) = (0; -\sqrt{2}; \sqrt{6})\)
5. Вектор \(\overrightarrow{DC}\) параллелен прямой DC, его координаты:
   • \(\overrightarrow{DC} = (\sqrt{2}-\sqrt{2}; 0-\sqrt{2}; 0-0) = (0; -\sqrt{2}; 0)\)
6. Вычислим косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{DC}\) по формуле:
   • \(\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{AK}| \cdot |\overrightarrow{DC}|}\)
   • \(\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{DC} = (0 \cdot 0) + (-\sqrt{2} \cdot -\sqrt{2}) + (\sqrt{6} \cdot 0) = 0 + 2 + 0 = 2\)
   • \(|\overrightarrow{AK}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{0 + 2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
   • \(|\overrightarrow{DC}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 2 + 0} = \sqrt{2}\)
   • \(\cos(\alpha) = \frac{2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{1}{2}\)