Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной AB = 2√3. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка K – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми AK и DC, если SB = 6√7.

Решение:

1. Шаг 1: Введем систему координат

   Пусть точка B — начало координат (0, 0, 0). Тогда:

   • A(2√3, 0, 0)
   • C(0, 2√3, 0)
   • D(2√3, 2√3, 0)
   • S(0, 0, 6√7)
   • K(0, 0, 3√7) (так как K — середина SB)

2. Шаг 2: Найдем векторы

   • Вектор AK = K - A = (0 - 2√3, 0 - 0, 3√7 - 0) = (-2√3, 0, 3√7)
   • Вектор DC = C - D = (0 - 2√3, 2√3 - 2√3, 0 - 0) = (-2√3, 0, 0)

3. Шаг 3: Найдем косинус угла между векторами AK и DC

   Косинус угла между векторами a(x₁, y₁, z₁) и b(x₂, y₂, z₂) вычисляется по формуле:

   cos(α) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (||a|| * ||b||)

   где ||a|| = √(x₁² + y₁² + z₁²) — длина вектора a.

4. Шаг 4: Применим формулу

   • AK ⋅ DC = (-2√3)(-2√3) + (0)(0) + (3√7)(0) = 12 + 0 + 0 = 12
   • ||AK|| = √((-2√3)² + 0² + (3√7)²) = √(12 + 0 + 63) = √75 = 5√3
   • ||DC|| = √((-2√3)² + 0² + 0²) = √(12 + 0 + 0) = √12 = 2√3

5. Шаг 5: Вычислим косинус угла

   cos(α) = 12 / (5√3 * 2√3) = 12 / (10 * 3) = 12 / 30 = 2 / 5 = 0.4

Ответ: 0.4