Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной AB = 9. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка K – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми AK и DC, если SB = 80.

Решение:

Пусть \(A(0; 0; 0)\), \(B(9; 0; 0)\), \(C(9; 9; 0)\), \(D(0; 9; 0)\), \(S(9; 0; 80)\). Тогда \(K(9; 0; 40)\). Вектор \(\vec{AK} = (9; 0; 40)\). Вектор \(\vec{DC} = (9; 0; 0)\).

Теперь смотри, как это работает: косинус угла между прямыми AK и DC равен косинусу угла между векторами \(\vec{AK}\) и \(\vec{DC}\). Используем формулу для косинуса угла между векторами:

\[cos(\alpha) = \frac{\vec{AK} \cdot \vec{DC}}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{DC}|}\]

Находим скалярное произведение векторов \(\vec{AK}\) и \(\vec{DC}\):

\[\vec{AK} \cdot \vec{DC} = (9 \cdot 9) + (0 \cdot 0) + (40 \cdot 0) = 81\]

Находим длины векторов \(\vec{AK}\) и \(\vec{DC}\):

\[|\vec{AK}| = \sqrt{9^2 + 0^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41\]\[|\vec{DC}| = \sqrt{9^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{81} = 9\]

Подставляем найденные значения в формулу для косинуса:

\[cos(\alpha) = \frac{81}{41 \cdot 9} = \frac{9}{41}\]

Ответ: \(\frac{9}{41}\)