Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной AB = √2. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка К — середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АК и DC, если SB = 8/√3.

1. Так как ABCD - квадрат, то DC параллельна AB. Угол между АК и DC равен углу между АК и AB.

2. Найдем длину АК. В прямоугольном треугольнике ASB (угол S = 90 градусов), AK - медиана. По теореме Пифагора, $$AK^2 = AS^2 + SK^2$$. Так как SB перпендикулярно плоскости основания, то SB перпендикулярно AB и SB перпендикулярно BC. Треугольник SAB прямоугольный. $$AS^2 = AB^2 + SB^2 = (\sqrt{2})^2 + (8/\sqrt{3})^2 = 2 + 64/3 = (6+64)/3 = 70/3$$. $$SK = SB/2 = 4/\sqrt{3}$$. $$AK^2 = 70/3 + (4/\sqrt{3})^2 = 70/3 + 16/3 = 86/3$$. $$AK = \sqrt{86/3}$$.

3. В треугольнике AKB, по теореме косинусов: $$BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2  AB  AK   cos(\angle KAB)$$. Угол между АК и AB - это угол KAB. $$BK = SK = 4/\sqrt{3}$$. $$(4/\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 86/3 - 2  \sqrt{2}  \sqrt{86/3}  cos(\angle KAB)$$. $$16/3 = 2 + 86/3 - 2  \sqrt{172/3}  cos(\angle KAB)$$. $$16/3 = 6/3 + 86/3 - 2  \sqrt{172/3}  cos(\angle KAB)$$. $$16/3 = 92/3 - 2  \sqrt{172/3}  cos(\angle KAB)$$. $$2  \sqrt{172/3}  cos(\angle KAB) = 92/3 - 16/3 = 76/3$$. $$cos(\angle KAB) = (76/3) / (2  \sqrt{172/3}) = 38 / (3  \sqrt{172/3}) = 38 / \sqrt{9  172/3} = 38 / \sqrt{3  172} = 38 / \sqrt{516}$$. $$cos(\angle KAB) = 38 / (2  \sqrt{129}) = 19 / \sqrt{129} = 19\sqrt{129}/129$$.