Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной АВ = 9. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка К – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АК и DC, если SB = 24.

Дано:

• SABCD - четырехугольная пирамида.
• ABCD - квадрат.
• AB = 9.
• SB \(\perp\) (ABC).
• K - середина SB.
• SB = 24.

Найти:

cos(AK, DC) - ?

Решение:

• Введем систему координат с началом в точке B, осью BX, направленной вдоль AB, осью BY, направленной вдоль BC, и осью BZ, направленной вдоль BS.

• Тогда координаты точек будут следующими:

  • B(0; 0; 0)
  • A(9; 0; 0)
  • C(0; 9; 0)
  • D(9; 9; 0)
  • S(0; 0; 24)
  • K(0; 0; 12)

• Найдем координаты вектора AK:

  AK = OK - OA = (0 - 9; 0 - 0; 12 - 0) = (-9; 0; 12)

• Вектор DC имеет координаты (0; 0; 0), так как прямая DC параллельна оси BX.

• Так как DC || AB, то угол между прямыми AK и DC равен углу между прямыми AK и AB. Вектор AB имеет координаты (9; 0; 0).

• Найдем косинус угла между векторами AK и AB по формуле:

  cos(AK, AB) = \(\frac{AK \cdot AB}{|AK| \cdot |AB|}\)

  AK \(\cdot\) AB = (-9) \(\cdot\) 9 + 0 \(\cdot\) 0 + 12 \(\cdot\) 0 = -81

  |AK| = \(\sqrt{(-9)^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 0 + 144} = \sqrt{225} = 15\)

  |AB| = \(\sqrt{9^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{81} = 9\)

  cos(AK, AB) = \(\frac{-81}{15 \cdot 9} = \frac{-81}{135} = -\frac{9}{15} = -\frac{3}{5} = -0.6\)

Ответ: cos(AK, DC) = -0.6