Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной АВ = √11. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка К - середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АК и DC, если SB = 66.

Решение:

Задача нахождения косинуса угла между двумя прямыми в пространстве. Будем использовать координатный метод.

1. Введение системы координат:

   Разместим начало координат в точке B. Ось BX направим вдоль BC, ось BY вдоль BA, а ось BZ вдоль BS.

   Координаты вершин квадрата ABCD:

   • B: (0, 0, 0)
   • A: (0, √11, 0)
   • C: (√11, 0, 0)
   • D: (√11, √11, 0)

   Координаты точки S:

   • S: (0, 0, 66)

   Координаты точки K (середина SB):

   • K: (0, 0, 33)
2. Векторы прямых:

   Найдем векторы прямых AK и DC.

   Вектор АК:

   • АК = K - A = (0 - 0, 0 - √11, 33 - 0) = (0, -√11, 33)

   Вектор DC:

   • DC = C - D = (√11 - √11, 0 - √11, 0 - 0) = (0, -√11, 0)

   Примечание: DC параллелен AB, поэтому вектор DC будет иметь те же координаты, что и вектор BA, но с противоположным направлением, если считать от D к C. Проверим: DC = C - D = (√11 - √11, 0 - √11, 0 - 0) = (0, -√11, 0). И вектор AB = B - A = (0 - 0, 0 - √11, 0 - 0) = (0, -√11, 0). Таким образом, DC || AB.

3. Косинус угла между векторами:

   Косинус угла α между двумя векторами авектор и вектор определяется формулой:

   • \(\cos\) α = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)

   Найдем скалярное произведение векторов АК и DC:

   • АК \(\cdot\) DC = (0)(0) + \(-\sqrt{11}\)\(-\sqrt{11}\) + (33)(0) = 0 + 11 + 0 = 11

   Найдем длины векторов АК и DC:

   • |АК| = \(\sqrt\){0^2 + \(-\sqrt{11}\)^2 + 33^2} = \(\sqrt{0 + 11 + 1089}\) = \(\sqrt{1100}\) = \(\sqrt{100 \times 11}\) = 10\(\sqrt{11}\)
   • |DC| = \(\sqrt\){0^2 + \(-\sqrt{11}\)^2 + 0^2} = \(\sqrt{0 + 11 + 0}\) = \(\sqrt{11}\)

   Теперь найдем косинус угла:

   • \(\cos\) α = \(\frac{11}\){\(10\sqrt{11}\) \(\cdot\) \(\sqrt{11}\)} = \(\frac{11}{10 \cdot 11}\) = \(\frac{11}{110}\) = \(\frac{1}{10}\)
4. Проверка:

   Прямая DC параллельна прямой AB. Угол между AK и DC равен углу между AK и AB. Найдем косинус угла между векторами AK = (0, -√11, 33) и AB = (0, -√11, 0).

   Скалярное произведение: AK \(\cdot\) AB = (0)(0) + \(-\sqrt{11}\)\(-\sqrt{11}\) + (33)(0) = 11.

   Длины: |AK| = \(\sqrt{1100}\) = 10\(\sqrt{11}\). |AB| = \(\sqrt{11}\).

   \(\cos\) α = \(\frac{11}\){\(10\sqrt{11}\) \(\cdot\) \(\sqrt{11}\)} = \(\frac{11}{110}\) = \(\frac{1}{10}\).

Ответ: \(\frac{1}{10}\)