Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной АВ = √2. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка К середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АК и DC, если SB = 2√6.

1. Так как SB перпендикулярно плоскости основания, то SB перпендикулярно AB и SB перпендикулярно BC. Следовательно, SB является высотой пирамиды. Длина стороны квадрата AB = √2, длина ребра SB = 2√6.

2. Найдем длину ребра AK, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике SAB: AK = √(AB² + SB²) = √((√2)² + (2√6)²) = √(2 + 24) = √26.

3. Прямая DC параллельна прямой AB. Угол между прямыми AK и DC равен углу между прямыми AK и AB. В прямоугольном треугольнике SAB, cos(∠SAB) = AB/AK = √2/√26 = √(2/26) = √(1/13) = 1/√13. Угол между прямыми AK и DC равен 90° - ∠SAB. Косинус угла между прямыми АК и DC равен sin(∠SAB). В прямоугольном треугольнике SAB, sin(∠SAB) = SB/AK = 2√6/√26 = 2√(6/26) = 2√(3/13). Ответ: 2√(3/13).