Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной АВ = √2. Ребро ЅВ перпендикулярно плоскости основания. Точка К – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АК и DC, если SB = 8√3.

Разбор задачи:

Нам дана четырёхугольная пирамида SABCD, где основание ABCD — квадрат со стороной \( a = \sqrt{2} \). Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точка K — середина ребра SB. Нужно найти косинус угла между прямыми AK и DC, зная, что \( SB = 8\sqrt{3} \).

1. Визуализация:

Представим пирамиду. Поскольку SB перпендикулярно основанию, это значит, что SB является высотой пирамиды. ABCD — квадрат.

2. Векторный подход:

Для удобства введём систему координат. Пусть вершина B будет началом координат (0, 0, 0). Так как SB перпендикулярно основанию, ось BZ будет совпадать с ребром SB. Точка S будет (0, 0, \( 8\sqrt{3} \)).

Так как ABCD — квадрат со стороной \( \sqrt{2} \) и B — начало координат:

• B = (0, 0, 0)
• A = (\( \sqrt{2} \), 0, 0)
• C = (0, \( \sqrt{2} \), 0)
• D = (\( \sqrt{2} \), \( \sqrt{2} \), 0)

Точка K — середина SB. Следовательно, её координаты:

• K = (0, 0, \( \frac{8\sqrt{3}}{2} \)) = (0, 0, \( 4\sqrt{3} \))

Теперь найдём векторы прямых AK и DC:

• Вектор \( \vec{AK} \) = K - A = (0 - \( \sqrt{2} \), 0 - 0, \( 4\sqrt{3} \) - 0) = (-\(\sqrt{2}\), 0, \( 4\sqrt{3} \))
• Вектор \( \vec{DC} \) = C - D = (0 - \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{2} \) - \( \sqrt{2} \), 0 - 0) = (-\(\sqrt{2}\), 0, 0)

3. Косинус угла между векторами:

Формула для косинуса угла между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]

Найдем скалярное произведение \( \vec{AK} \cdot \vec{DC} \):

\[ \vec{AK} \cdot \vec{DC} = (-\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (0)(0) + (4\sqrt{3})(0) = 2 \]

Найдем длины векторов:

• \( |\vec{AK}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 0^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 0 + 16 \times 3} = \sqrt{2 + 48} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
• \( |\vec{DC}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{2} \)

Теперь вычислим косинус угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{2}{(5\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \frac{2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

4. Проверка:

DC параллельно AB. AK не параллельно SB. Угол между AK и DC — это угол между AK и AB (если рассматривать их как векторы, исходящие из одной точки).

Сторона квадрата \( AB = \sqrt{2} \). Высота пирамиды \( SB = 8\sqrt{3} \). Точка K — середина SB, значит \( BK = 4\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Катеты:

• \( AB = \sqrt{2} \)
• \( BK = 4\sqrt{3} \)

Гипотенуза AK:

\[ AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 16 \times 3} = \sqrt{2 + 48} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

DC параллельно AB. Поэтому угол между AK и DC равен углу между AK и AB.

В треугольнике ABK, косинус угла \( \angle KAB \) равен:

\[ \cos(\angle KAB) = \frac{AB}{AK} = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{5} \]

Ответ: 0.2