Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной АВ = 9. Ребро ЅВ перпендикулярно плоскости основания. Точка К середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми АК и DC, если SB = 24.

1. Так как SB перпендикулярно плоскости основания ABCD, то SB перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в частности, DC. Следовательно, угол между SB и DC равен 90 градусов.

2. Так как ABCD - квадрат, то DC параллельно AB. Так как SB перпендикулярно плоскости основания, то SB перпендикулярно AB. Следовательно, SB перпендикулярно DC.

3. Рассмотрим треугольник ABK. AB = 9, BK = SB/2 = 24/2 = 12. Угол ABK = 90 градусов. По теореме Пифагора, AK^2 = AB^2 + BK^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225. Значит, AK = sqrt(225) = 15.

4. Так как DC параллельно AB, то угол между прямыми AK и DC равен углу между прямыми AK и AB. В прямоугольном треугольнике ABK, cos(угла AKB) = BK/AK = 12/15 = 4/5. Угол между прямыми AK и DC равен углу AKB. Следовательно, косинус угла между прямыми АК и DC равен 4/5.