Дана функция f (x) = |2 + \frac{8}{x - 2}|. 1) Постройте график функции у = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f (x) = с имеет ровно одно решение?

Решение:

1) Для построения графика функции f(x) = |2 + \frac{8}{x - 2}|, сначала построим график функции g(x) = 2 + \frac{8}{x - 2}. Это гипербола, смещенная на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Асимптоты: x = 2 и y = 2. Затем отразим часть графика, находящуюся ниже оси Ox, относительно оси Ox, чтобы получить график модуля. 2) Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение, если прямая y = c пересекает график функции f(x) только в одной точке. Рассмотрим функцию g(x) = 2 + \frac{8}{x - 2}. При x > 2, g(x) > 2. При x < 2, g(x) < 2. Вертикальная асимптота x = 2. Горизонтальная асимптота y = 2. Теперь возьмем модуль: f(x) = |2 + \frac{8}{x - 2}|. График f(x) будет отражением графика g(x) относительно оси Ox для тех участков, где g(x) < 0. Минимальное значение f(x) будет в точке, где g(x) пересекает ось Ox (если такая точка есть), и затем отражается. Найдем, где g(x) = 0: 2 + \frac{8}{x - 2} = 0 \frac{8}{x - 2} = -2 8 = -2(x - 2) 8 = -2x + 4 2x = -4 x = -2 Итак, g(-2) = 0. Значит, в точке x = -2 график f(x) касается оси Ox. Производная функции g(x) равна g'(x) = -\frac{8}{(x - 2)^2}. Функция g(x) убывает на промежутках (-∞, 2) и (2, +∞). Рассмотрим график f(x). При c = 0, уравнение имеет одно решение x = -2. При c = 2, уравнение имеет одно решение x = -2. При c < 0, уравнение не имеет решений. При c > 2, уравнение имеет два решения. Чтобы уравнение f(x) = c имело ровно одно решение, необходимо, чтобы прямая y = c касалась графика f(x) или проходила через вершину «уголка», образованного отражением. Функция f(x) имеет минимум в точке (-2, 0). Прямая y = c пересекает график f(x) в одной точке, если c = 0 или c = 2. f(x) = c имеет ровно одно решение, когда c = 0 или c = 4.

Ответ: c = 0 или c = 4