Дана функция f (x) = |1+6/(x+1)| 1) Постройте график функции у = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение?

1) Построение графика функции \(y = f(x)\)

Функция задана как модуль: \(f(x) = \left|1 + \frac{6}{x+1}\right|\).

Чтобы построить график, рассмотрим функцию без модуля и учтем, что модуль отражает отрицательные значения относительно оси x.

• a) Функция без модуля: \(y = 1 + \frac{6}{x+1}\)
• b) Асимптоты: Вертикальная асимптота: \(x = -1\). Горизонтальная асимптота: \(y = 1\).
• c) Поведение: При \(x > -1\), функция убывает, приближаясь к \(y = 1\) сверху. При \(x < -1\), функция убывает, приближаясь к \(y = 1\) снизу.

Теперь применим модуль. Часть графика, где \(1 + \frac{6}{x+1} < 0\), отразится относительно оси x.

• Точки пересечения с осью x (после взятия модуля):

Найдем, когда \(1 + \frac{6}{x+1} = 0\):

Таким образом, график функции имеет вертикальную асимптоту в \(x = -1\) и горизонтальную асимптоту в \(y = 1\). При \(x = -7\), график пересекает ось x.

2) Значения параметра c, при которых уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение

Уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая \(y = c\) пересекает график функции \(y = f(x)\) в одной точке.

• a) c = 0: Горизонтальная прямая \(y = 0\) пересекает график в точке \(x = -7\). Таким образом, \(c = 0\) является одним из значений.
• b) c = 1: Горизонтальная прямая \(y = 1\) является асимптотой графика функции. График приближается к этой прямой, но не пересекает ее (кроме случая, когда функция не была бы определена, т.е. асимптота не считается пересечением), поэтому уравнение имеет одно решение в окрестности \(x = -1\).

Точки, где уравнение имеет ровно одно решение, соответствуют значениям параметра \(c\), равным:

• \(c = 0\) (график касается оси x)
• \(c = 1\) (горизонтальная асимптота)

При \(c > 1\), уравнение имеет два решения. При \(0 < c < 1\), уравнение также имеет два решения.

Значения параметра \(c\), при которых уравнение имеет ровно одно решение, это \(c = 0\) и \(c = 1\).

Ответ: \(c = 0\), \(c = 1\)