Дана функция f (x) = |8/(x-1) -2|. 1) Постройте график функции у = f (x). 2) При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение?

Решение:

1) Чтобы построить график функции \(f(x) = |\frac{8}{x-1} - 2|\), нужно выполнить несколько шагов:

• Построить график функции \(g(x) = \frac{8}{x-1}\)
• Сдвинуть график \(g(x)\) на 2 единицы вниз, получив график функции \(h(x) = \frac{8}{x-1} - 2\).
• Отразить части графика \(h(x)\), находящиеся ниже оси x, относительно оси x, чтобы получить график функции \(f(x) = |\frac{8}{x-1} - 2|\).

График функции \(g(x) = \frac{8}{x-1}\) - это гипербола с вертикальной асимптотой x = 1 и горизонтальной асимптотой y = 0.

Чтобы получить график функции \(h(x) = \frac{8}{x-1} - 2\), опустим график \(g(x)\) на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота остается x = 1, а горизонтальная асимптота становится y = -2.

Чтобы получить график функции \(f(x) = |\frac{8}{x-1} - 2|\), отразим части графика \(h(x)\), которые находятся ниже оси x, относительно оси x.

2) Уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная линия y = c касается графика функции \(f(x)\) в одной точке.

Горизонтальная асимптота функции \(h(x)\) равна y = -2. После отражения части графика ниже оси x, мы получаем точку (1, 2) на графике \(f(x)\). Кроме того, после сдвига асимптота y = -2 переместится в y = 2.

Также необходимо учитывать точку излома на графике, где происходит отражение. Это происходит, когда \(\frac{8}{x-1} - 2 = 0\), откуда \(\frac{8}{x-1} = 2\), следовательно \(8 = 2(x-1)\), \(8 = 2x - 2\), \(2x = 10\), \(x = 5\). Значение функции в этой точке равно 0.

Таким образом, уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение при \(c = 0\) и \(c = 2\).

Ответ: с = 0 и с = 2