Дана функция f (x) = 2+x+1 1) Постройте график функции у = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение?

Функция и задачи

Нам дана функция \( f(x) = \frac{10}{|x + 1|} + 2 \) и две задачи:

1. Построить график функции.
2. Найти значения параметра \( c \), при которых уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение.

1) Построение графика функции

Смотри, тут всё просто: сначала строим график \( y = \frac{1}{x} \), затем применяем преобразования.

• Строим график функции \( y = \frac{1}{x} \). Это гипербола с асимптотами \( x = 0 \) и \( y = 0 \).
• Сдвигаем график влево на 1 единицу: \( y = \frac{1}{x + 1} \). Асимптота теперь \( x = -1 \).
• Применяем модуль: \( y = \frac{1}{|x + 1|} \). Часть графика, где \( x + 1 < 0 \), отражается симметрично относительно вертикальной оси \( x = -1 \).
• Умножаем на 10: \( y = \frac{10}{|x + 1|} \). Растягиваем график вдоль оси Y в 10 раз.
• Сдвигаем график вверх на 2 единицы: \( f(x) = \frac{10}{|x + 1|} + 2 \). Добавляем 2 ко всем значениям Y.

2) Нахождение значений c

Чтобы уравнение \( f(x) = c \) имело ровно одно решение, горизонтальная прямая \( y = c \) должна пересекать график функции в одной точке. Разбираемся:

• Горизонтальная асимптота: \( y = 2 \). Значит, при \( c = 2 \) прямая \( y = c \) касается графика в бесконечности.
• Минимальное значение функции: Ветви графика стремятся к асимптоте \( y = 2 \), но никогда её не достигают.
• Вершина «уголка»: При \( x = -1 \) функция не определена, так как деление на ноль. Но рядом с этой точкой функция стремится к бесконечности.
• Чтобы найти значение \( c \), при котором будет только одно решение, нужно найти такое значение, когда прямая касается «уголка» графика. Но поскольку «уголка» как такового нет (функция не определена в точке \( x = -1 \)), то такого значения \( c \) не существует.

Ответ: Уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение при \( c > 2 \). При \( c \le 2 \) уравнение не имеет решений, так как график функции всегда больше 2.