Дана функция f(x) = |1 + 9/(x-3)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение?

Решение:

1. Построение графика функции y = f(x)

Сначала построим график функции g(x) = 1 + 9/(x-3).

• Асимптоты:
• Вертикальная асимптота: x = 3 (знаменатель равен нулю).
• Горизонтальная асимптота: y = 1 (при x стремящемся к бесконечности, 9/(x-3) стремится к 0).
• Точки пересечения с осями:
• С осью Y: При x = 0, g(0) = 1 + 9/(-3) = 1 - 3 = -2. Точка (0, -2).
• С осью X: 1 + 9/(x-3) = 0 => 9/(x-3) = -1 => 9 = -(x-3) => 9 = -x + 3 => x = -6. Точка (-6, 0).
• Построение графика g(x): Это гипербола с центром в точке (3, 1).

Теперь построим график f(x) = |g(x)|. Это означает, что вся часть графика g(x), которая находится ниже оси X, будет отражена вверх.

• Часть графика g(x), где g(x) >= 0, остается без изменений.
• Часть графика g(x), где g(x) < 0, отражается симметрично относительно оси X.

График будет иметь:

• Вертикальную асимптоту x = 3.
• Горизонтальную асимптоту y = 1 для части графика, которая была y = 1 + 9/(x-3) при y >= 0.
• Для отраженной части, где g(x) < 0, новая горизонтальная асимптота будет y = -1 (если бы мы строили -g(x)). Но так как мы берем модуль, то отрицательные значения g(x) становятся положительными.

Ключевые точки после взятия модуля:

• Точка (-6, 0) остается.
• Точка (0, -2) становится (0, 2).
• Асимптота y = 1 сохраняется.
• При подходе к x = 3, значения 9/(x-3) будут либо очень большими положительными (если x > 3), либо очень большими отрицательными (если x < 3).
• Когда x -> 3+, g(x) -> +∞, следовательно f(x) -> +∞.
• Когда x -> 3-, g(x) -> -∞. После взятия модуля f(x) = |g(x)| -> +∞.

2. При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая y = c пересекает график функции f(x) ровно в одной точке.

Рассмотрим график f(x) = |1 + 9/(x-3)|:

• Горизонтальная асимптота: y = 1. Это означает, что для больших |x|, f(x) приближается к 1.
• Вертикальная асимптота: x = 3. График уходит в плюс бесконечность с обеих сторон от x = 3 (после взятия модуля).
• Пересечение с осью Y: Точка (0, 2).
• Пересечение с осью X: Точка (-6, 0).

Проанализируем количество решений для разных значений c:

• Если c < 0: Нет решений, так как f(x) всегда неотрицательна (из-за модуля).
• Если c = 0: Одно решение (x = -6).
• Если 0 < c < 1: Нет решений. Часть графика, соответствующая y = 1 + 9/(x-3) < 0, отражается вверх, но она не достигает значений меньше 0. То есть, все значения f(x) будут больше или равны 0. Для y = 1 + 9/(x-3), если 0 < 1 + 9/(x-3) < 1, то -1 < 9/(x-3) < 0, что означает -x+3 < 9 < 0 (невозможно) или -x+3 > 9 => x < -6. В этом случае f(x) = |1 + 9/(x-3)| = 1 + 9/(x-3). У этой ветки есть часть, где 0 < y < 1. Однако, после взятия модуля, значения f(x) будут больше 1, когда 1 + 9/(x-3) > 1 или 1 + 9/(x-3) < -1.
• Если c = 1: Два решения. Одно решение соответствует 1 + 9/(x-3) = 1 => 9/(x-3) = 0 (нет решения). Второе решение соответствует |1 + 9/(x-3)| = 1. Это значит 1 + 9/(x-3) = 1 (нет решения) или 1 + 9/(x-3) = -1. 9/(x-3) = -2 => 9 = -2(x-3) => 9 = -2x + 6 => 2x = -3 => x = -1.5. А также, если x > 3, то 1 + 9/(x-3) всегда больше 1. Значит, прямая y = 1 будет иметь одно пересечение с отраженной частью графика.
• Если c > 1: Два решения. Одно решение будет соответствовать 1 + 9/(x-3) = c, а другое — 1 + 9/(x-3) = -c.
• Особый случай: при x = 3, график уходит в бесконечность.

Чтобы получить ровно одно решение, прямая y = c должна:

1. Пересекать график в точке, где f(x) = 0. Это происходит при c = 0 (одно решение x = -6).


2. Пересекать график ровно на одной из