Дана функция $$f(x) = |2 + \frac{10}{x+1}|$$. 1) Постройте график функции $$y=f(x)$$. 2) При каких значениях $$c$$ уравнение $$f(x)=c$$ имеет ровно одно решение?

Решение:

1. Построение графика функции:

   Для построения графика функции $$f(x) = |2 + \frac{10}{x+1}|$$, сначала построим график функции $$y = 2 + \frac{10}{x+1}$$.

   Это гипербола с вертикальной асимптотой $$x = -1$$ и горизонтальной асимптотой $$y = 2$$.

   При $$x=0$$, $$y = 2 + \frac{10}{1} = 12$$.

   При $$y=0$$, $$2 + \frac{10}{x+1} = 0 \implies \frac{10}{x+1} = -2 \implies 10 = -2(x+1) \implies 5 = -(x+1) \implies 5 = -x-1 \implies x = -6$$.

   Теперь применим модуль. Часть графика, которая находится ниже оси x, отражается вверх.

   • При $$x > -6$$, $$2 + \frac{10}{x+1} \ge 0$$, график остается без изменений.
   • При $$-6 < x < -1$$, $$2 + \frac{10}{x+1} < 0$$, график отражается относительно оси x.
   • При $$x < -6$$, $$2 + \frac{10}{x+1} > 0$$, график остается без изменений.
2. Решение уравнения $$f(x) = c$$ с одним решением:

   Уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая $$y = c$$ пересекает график функции $$y = f(x)$$ в одной точке.

   Анализируя график, видим, что это происходит в следующих случаях:

   • Когда $$c$$ равно значению функции в точке излома при отражении, то есть когда $$2 + \frac{10}{x+1} = 0$$. Мы уже нашли, что это происходит при $$x = -6$$. Значение функции в этой точке равно 0.
   • Когда $$c$$ равно значению функции, стремящемуся к бесконечности, то есть когда $$c$$ стремится к $$+\infty$$. Однако, так как прямая $$y=c$$ должна пересекать график, мы рассматриваем только конечные значения $$c$$.
   • На графике видно, что при $$y=0$$ (т.е. $$c=0$$) есть ровно одно решение $$x=-6$$.
   • Также, если $$c$$ равно значению функции в точке, где происходит отражение, т.е. $$c=|2 + rac{10}{x+1}|$$ при $$2 + rac{10}{x+1}=0$$. Это $$c=0$$, которое мы уже рассмотрели.
   • Еще один случай, когда $$y=c$$ пересекает график в одной точке, это когда $$y=c$$ является горизонтальной асимптотой для одной из ветвей графика, преобразованной модулем. Горизонтальная асимптота исходной функции $$y = 2 + \frac{10}{x+1}$$ равна $$y = 2$$. После взятия модуля, эта асимптота остается $$y=2$$. Если $$c=2$$, то $$f(x)=2 \implies |2 + \frac{10}{x+1}| = 2$$. Это означает, что $$2 + \frac{10}{x+1} = 2$$ или $$2 + \frac{10}{x+1} = -2$$. Первое уравнение дает $$\frac{10}{x+1}=0$$, что не имеет решений. Второе уравнение дает $$\frac{10}{x+1}=-4$$, $$10 = -4(x+1)$$, $$10 = -4x - 4$$, $$4x = -14$$, $$x = -3.5$$. Таким образом, при $$c=2$$ есть одно решение.
   • Если $$c > 0$$, то прямая $$y=c$$ будет пересекать график в двух точках (кроме случая $$c=2$$).

   Итак, уравнение $$f(x)=c$$ имеет ровно одно решение при $$c=0$$ и $$c=2$$.

Ответ:

• 1) График построен.
• 2) $$c=0$$ и $$c=2$$.