Дана функция \(f(x) = |2 + \frac{6}{x+3}|\). 1) Постройте график функции \(y = f(x)\). 2) При каких значениях \(c\) уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ основной функции. Рассмотрим функцию \(g(x) = 2 + \frac{6}{x+3}\). Это гипербола, смещенная влево на 3 единицы и вверх на 2 единицы. Вертикальная асимптота: \(x = -3\). Горизонтальная асимптота: \(y = 2\).
2. Шаг 2: Построение графика \(g(x)\). Найдем точки пересечения с осями: \(x=0 \implies g(0) = 2 + \frac{6}{3} = 4\). Точка (0, 4). \(g(x)=0 \implies 2 + \frac{6}{x+3} = 0 \implies \frac{6}{x+3} = -2 \implies 6 = -2(x+3) \implies 6 = -2x - 6 \implies 2x = -12 \implies x = -6\). Точка (-6, 0).
3. Шаг 3: Построение графика \(f(x) = |g(x)|\). График \(f(x)\) получается из графика \(g(x)\) путем отражения той части графика, которая лежит ниже оси \(Ox\), относительно этой оси. Часть графика ниже оси \(Ox\) находится для \(x < -6\).
4. Шаг 4: Анализ для определения \(c\). Прямая \(y=c\) имеет ровно одно пересечение с графиком \(f(x)\) в следующих случаях:
   - Когда \(c\) совпадает со значением горизонтальной асимптоты, к которой график стремится, но никогда не достигает, кроме случаев, когда эта асимптота находится на уровне, где функция имеет только одну ветку. В данном случае, если \(c = 2\), то прямая \(y=2\) будет горизонтальной асимптотой для части графика \(g(x)\), которая не отражается, и будет иметь два пересечения. Однако, после отражения, если \(c = 2\) (значение горизонтальной асимптоты \(g(x)\)), оно будет касаться графика.
   - Когда \(c\) совпадает с 'углом' графика, образованным отражением. В нашем случае, точка пересечения с осью \(Ox\) (-6, 0) становится точкой минимума для отраженной части графика. Таким образом, при \(c = 0\), прямая \(y=0\) (ось \(Ox\)) будет касаться графика в одной точке.
   - Если \(c\) равно значению функции в точке, где происходит излом графика, и это значение является экстремальным.

Ответ:

1. График функции \(f(x) = |2 + \frac{6}{x+3}|\) строится следующим образом: сначала строится график функции \(y = 2 + \frac{6}{x+3}\) (гипербола с вертикальной асимптотой \(x = -3\) и горизонтальной \(y = 2\)), а затем часть графика, лежащая ниже оси \(Ox\), отражается симметрично относительно оси \(Ox\).

2. Уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение, когда \(c = 0\) (прямая касается графика в точке пересечения с осью \(Ox\)) или когда \(c\) равно значению вертикальной асимптоты, при условии, что оно является касательной к отраженной части графика. В данном случае, это значение \(c=0\).