Дана функция f(x) = 4 - |12/(x-3)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Решение:

Для начала разберемся с функцией f(x) = 4 - (rac{12}{|x-3|}). Это дробно-рациональная функция с модулем в знаменателе.

1. Построение графика функции y = f(x):

   Сначала построим график функции y = (rac{12}{x-3}). Это гипербола с центром в точке (3, 0). Асимптоты: x = 3 (вертикальная) и y = 0 (горизонтальная).

   • Когда x > 3, то x-3 > 0, и график выглядит как в первой четверти относительно центра (3,0).
   • Когда x < 3, то x-3 < 0, и график выглядит как во второй четверти относительно центра (3,0).

   Теперь учтем модуль: y = (rac{12}{|x-3|}). Поскольку |x-3| всегда неотрицателен, то и вся дробь будет неотрицательна. Значит, ветви графика, которые были бы ниже оси x (для x < 3), отражаются вверх.

   Наконец, f(x) = 4 - (rac{12}{|x-3|}). Это означает, что мы смещаем график y = (rac{12}{|x-3|}) на 4 единицы вверх. Вертикальная асимптота остается x = 3, а горизонтальная асимптота становится y = 4.

   Ключевые точки:

   • Найдем точки пересечения с осью x: 4 - (rac{12}{|x-3|}) = 0 \(\rightarrow\) 4 = (rac{12}{|x-3|}) \(\rightarrow\) |x-3| = 3 \(\rightarrow\) x-3 = 3 \(\text{ или }\) x-3 = -3 \(\rightarrow\) x = 6 \(\text{ или }\) x = 0.
   • Точки (0, 0) и (6, 0) являются точками пересечения с осью x.
2. При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

   Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая y = c пересекает график функции f(x) ровно в одной точке.

   Рассмотрим график:

   • Горизонтальная асимптота находится на уровне y = 4. Прямая y = 4 не пересекает график, так как функция никогда не равна 4.
   • Ветви графика функции f(x) = 4 - (rac{12}{|x-3|}) направлены вниз от асимптоты y = 4.
   • Максимальное значение, которое может принимать функция, приближается к 4 (но никогда не достигает его).
   • Наименьшее значение функции будет определяться минимумом ветвей гиперболы.
   • Когда |x-3| стремится к бесконечности, f(x) стремится к 4.
   • Когда |x-3| стремится к 0, f(x) стремится к $$-(infty)$$.
   • Мы нашли точки пересечения с осью x: (0,0) и (6,0). Это означает, что при c=0 есть два решения.

   Чтобы получить ровно одно решение, прямая y = c должна быть либо горизонтальной асимптотой (которая не достигается), либо касаться вершины какой-либо из ветвей, если бы они были направлены вверх. В данном случае, ветви направлены вниз.

   Прямая y = c будет иметь ровно одно пересечение, если она пройдет через точки, где функция достигает своего локального минимума или максимума, или если она совпадет с асимптотой (что дает ноль решений).

   Однако, в данном случае, функция стремится к $$-(infty)$$ при приближении к x=3, и стремится к 4 при удалении от x=3.

   Следовательно, для того чтобы было ровно одно решение, прямая y = c должна находиться на уровне горизонтальной асимптоты, но так как функция никогда не достигает 4, то c = 4 не дает решений.

   Давайте пересмотрим. У нас есть две ветви гиперболы, симметричные относительно x=3. Эти ветви направлены вниз от асимптоты y=4.

   Если c > 4, нет решений.

   Если c = 4, нет решений (асимптота).

   Если c < 4, прямая y=c пересечет ОБЕ ветви графика, давая два решения.

   Ошибка в понимании графика. График y = 4 - (rac{12}{|x-3|}) означает, что функция всегда меньше 4.

   Для f(x) = c одно решение будет тогда, когда прямая y = c будет касаться